我的有限元学习笔记 (Part1 - DSM方法的基本解说)
http://www.mulog.org/mulog/article.asp?id=516
[ 2004-07-16 17:54:56 | Author: moneywood ]
本文是我的有限元学习笔记的一部分，将随我学习进度在blog陆续po出，本人新手，请各位看官多提意见，谢谢！
Part 1 ...
从哪儿开始下手讲授有限元，的确是个很麻烦的问题
你可以一开始就对单元着手，细细分析，这需要很强的弹性力学的基础，如果你在这个方面的基础不扎实，很快你就觉得自己身陷泥沼，进退两难了。
Prof. Felippa从最简单的二力杆开始，阅读前几章你不会觉得有任何的问题。
一到四章从一个最简单的三角truss结构开始，应用Derict Stiffness Method这个现今绝大多数商业FEA软件的基础方法，让你对整个有限元方法的框架有力基本而透彻的了解。
模型很简单，三根二力杆组成一个三角，然后一边固支、一边简支。
根据有限元分析的三个基本步骤：breakdown、Assembly、Solution。
Breakdwon。先把三根杆分解为三个独立的对象进行分析，建立每根杆member joint force(受力)和member joint displacement(位移)之间的关系。这个关系就相当于f=kx。在这个例子里，杆有四个自由度，也就有4个方向的受力和位移，那么刚度阵就是 4X4的。
Assembly。所谓组合就是把各个element的刚度汇总为一个总的primary matrix以供求解。在这个之前最重要的是统一各个element的坐标系，因为在建立各element的刚度阵的时候我们是以local coordinate为准的，对杆来讲就是以各杆长延伸方向为X向。而整个模型的有自己的global coordinate，为统一两者，必须要进行坐标变换。变换中我们要注意，除了位移要变换外，受力也是需要变换的。统一坐标以后就可以组合了，手动组合 的方法很简单，现建立一个空的包涵所有自由度的0阵，然后按对应的力和位移往里面填刚度就可以了，验证的方法就是把这个阵乘开，结果应该和你单独乘开所有 单元阵吻合。
Solution。获得的这个primary stiffness matrix直接求解，是无任何BC(Boundry conditions)情况下的解答，当然这个阵是无解的。加BC可以说是很讲究的，最简单的就是直接消除几个DOF并已知几个受力情况，这样简化矩阵后 就求出有限解了。接下去就是后期的一些参数的求取，这些都是在你的解得基础上获得的，非常简单。
复杂的边界条件非常难对付，比如在某(几)个DOF方向有位移u，你就不能直接解，而必须先化简，把这一个位移和刚度阵乘出一个值减到方程的右边去(也就 是力这边)，然后再简化矩阵进行计算。这儿需要提一下的就是有热应力的情况，在原理上这个热应力和你加在单元上的力是等效的，都是RHS项，所以求解热问 题只需要在本来f的基础上再加一个热应力向量上去，就可以计算了。
至于最终怎么解出来这个方程，我觉得没什么好关心的，本来我们就是用商业软件包，已经很自动化了，我们现在的问题是如何弄明白这个前处理的过程，至于求解，如果这些软件包解不出来，你么，肯定也解不出来:)
Part 1 ...
从哪儿开始下手讲授有限元，的确是个很麻烦的问题
你可以一开始就对单元着手，细细分析，这需要很强的弹性力学的基础，如果你在这个方面的基础不扎实，很快你就觉得自己身陷泥沼，进退两难了。
Prof. Felippa从最简单的二力杆开始，阅读前几章你不会觉得有任何的问题。
一到四章从一个最简单的三角truss结构开始，应用Derict Stiffness Method这个现今绝大多数商业FEA软件的基础方法，让你对整个有限元方法的框架有力基本而透彻的了解。
模型很简单，三根二力杆组成一个三角，然后一边固支、一边简支。
根据有限元分析的三个基本步骤：breakdown、Assembly、Solution。
Breakdwon。先把三根杆分解为三个独立的对象进行分析，建立每根杆member joint force(受力)和member joint displacement(位移)之间的关系。这个关系就相当于f=kx。在这个例子里，杆有四个自由度，也就有4个方向的受力和位移，那么刚度阵就是 4X4的。
Assembly。所谓组合就是把各个element的刚度汇总为一个总的primary matrix以供求解。在这个之前最重要的是统一各个element的坐标系，因为在建立各element的刚度阵的时候我们是以local coordinate为准的，对杆来讲就是以各杆长延伸方向为X向。而整个模型的有自己的global coordinate，为统一两者，必须要进行坐标变换。变换中我们要注意，除了位移要变换外，受力也是需要变换的。统一坐标以后就可以组合了，手动组合 的方法很简单，现建立一个空的包涵所有自由度的0阵，然后按对应的力和位移往里面填刚度就可以了，验证的方法就是把这个阵乘开，结果应该和你单独乘开所有 单元阵吻合。
Solution。获得的这个primary stiffness matrix直接求解，是无任何BC(Boundry conditions)情况下的解答，当然这个阵是无解的。加BC可以说是很讲究的，最简单的就是直接消除几个DOF并已知几个受力情况，这样简化矩阵后 就求出有限解了。接下去就是后期的一些参数的求取，这些都是在你的解得基础上获得的，非常简单。
复杂的边界条件非常难对付，比如在某(几)个DOF方向有位移u，你就不能直接解，而必须先化简，把这一个位移和刚度阵乘出一个值减到方程的右边去(也就 是力这边)，然后再简化矩阵进行计算。这儿需要提一下的就是有热应力的情况，在原理上这个热应力和你加在单元上的力是等效的，都是RHS项，所以求解热问 题只需要在本来f的基础上再加一个热应力向量上去，就可以计算了。
至于最终怎么解出来这个方程，我觉得没什么好关心的，本来我们就是用商业软件包，已经很自动化了，我们现在的问题是如何弄明白这个前处理的过程，至于求解，如果这些软件包解不出来，你么，肯定也解不出来:)
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