我的有限元学习笔记 (Part 5 - MFC : 多自由度约束(MultiFreedomConstraints)下的简化计算法)
[ 2004-08-19 01:31:20 | Author: moneywood ]
本文是我的有限元学习笔记的一部分，将随我学习进度在blog陆续po出，本人新手，请各位看官多提意见，谢谢！
Part 5 ...
这个和MS的基础类库一点关系都没有，你要是无辜search到这页，我先道歉了:)
先前DSM计算的时候，基本上是仅指定一个自由度的约束，比如某一节点的x向位移为0或某个值。如果约束条件并非这么简单，而是比如1号节点的x 向位移等一3号节点的x向位移，也就是说约束条件是一个有多个变量的方程的时候，我们就需要对刚度阵Ku=f进行改造以便于我们计算。
求解MFC的方法有三种：
1,Master-Slave Elimination.
这种方法是最便于手算的求解方法。首先你要确定主自由度和辅自由度，辅自由度的个数有约束方程的个数确定，一般是一个方程一个辅自由度，当然几个约束方程之间是线性无关的。然后将每个辅自由度用主自由度表示出来。
然后就是简化的过程了，主自由度和所有自由度之间可以通过前面的方程建立如下关系，[所有DOF]=T[主DOF],即u=Tu'。同理f=T(转置)f'，那么简化后的刚度阵就是K'=T(转置)KT，然后就可以求解矩阵了。
这个方法看上去很美吧，不过你要知道，我们可不是要手算的，我们需要计算机来求解庞大的矩阵，所以考量是否利于计算机运算才是关键。我们注意到在 运用此方法演算的时候，会产生一个额外的T矩阵，如果辅DOF很小，这个T将非常大，等于让存储空间加倍，这是很不划算的；另一个问题是选择辅DOF上 的，手算的时候自己判断一下就可以了，人不会觉得这是个问题，不过计算机可不会自己挑选辅DOF，你还要额外编写程序遴选主辅DOF，还要防止出现重复的 定义，非常的麻烦。
2,Penalty Augmentation.
惩罚法，我们可以很形象的描述这种算法，如果两个DOF被约束住了，那么我们就给他们一个加锁，这儿的枷锁是一个刚度为w弹簧。加上弹簧后两个 DOF之间有如下关系：f1=w(u1-u2),f2=w(u2-u1);我们就把这个直接加到原先的矩阵上好了，没有额外的矩阵和运算，非常简单。不过 问题来了，如果u1和u2真的约束住了，那么w就该的等于无穷大。事实上如果这么算，那么很明显这是个病态矩阵。
那么关键就是怎么选择w了。我们知道计算机能识别的最小数字是有限的，也就是说，如果两个数字差别小到计算机识别的极限，我们就认为他们是相等 的，按照这个原理，大概w取到10的16次方程序就认为两个DOF完全约束了，不过这个数字相对矩阵里的其他值还是太大了；要继续减少w的值，我们要考虑 到误差的问题，即你可以容许计算中出现最大到多少的误差，根据这个标准确定w，最终推荐的w值大概在10的5-7次方之间，既兼顾了误差的要求，矩阵也不 会出现病态的情形。
综合考虑这种算法，除了确定w以外，其他方面都是可以接受的，但是无法确定w是致命的。
3,Lagrange Multiplier Adjunction.
拉格朗日附加乘子法。最后的这个方法是最佳的方案。他是从前一种方法引申过来的。在前一个方法中我们在两个DOF之间加了一个刚度为w的弹簧，其 实说穿了就是在两个自由度之间加一个约束力。那么我们干脆直接考察这对作用力的作用好了。我们把这一对力加在向量f上，那么原先的f1就变成了f1-a， 而f2就变成了f2+a。这时的a就是一个朗格朗日乘子。下面一步就是把这个乘子挪到刚度阵这一边，让他变成第n+1个DOF，那么自然刚度阵的阶数也 要+1，对应到f这一边舔一个0；这样就完成了一个扩大的刚度阵，可以求解了。
这个方法最好的地方在于他非常的利于计算机处理，基本不需要什么额外地对参数的确定，而且精确度也是最高的。
Part 5 ...
这个和MS的基础类库一点关系都没有，你要是无辜search到这页，我先道歉了:)
先前DSM计算的时候，基本上是仅指定一个自由度的约束，比如某一节点的x向位移为0或某个值。如果约束条件并非这么简单，而是比如1号节点的x 向位移等一3号节点的x向位移，也就是说约束条件是一个有多个变量的方程的时候，我们就需要对刚度阵Ku=f进行改造以便于我们计算。
求解MFC的方法有三种：
1,Master-Slave Elimination.
这种方法是最便于手算的求解方法。首先你要确定主自由度和辅自由度，辅自由度的个数有约束方程的个数确定，一般是一个方程一个辅自由度，当然几个约束方程之间是线性无关的。然后将每个辅自由度用主自由度表示出来。
然后就是简化的过程了，主自由度和所有自由度之间可以通过前面的方程建立如下关系，[所有DOF]=T[主DOF],即u=Tu'。同理f=T(转置)f'，那么简化后的刚度阵就是K'=T(转置)KT，然后就可以求解矩阵了。
这个方法看上去很美吧，不过你要知道，我们可不是要手算的，我们需要计算机来求解庞大的矩阵，所以考量是否利于计算机运算才是关键。我们注意到在 运用此方法演算的时候，会产生一个额外的T矩阵，如果辅DOF很小，这个T将非常大，等于让存储空间加倍，这是很不划算的；另一个问题是选择辅DOF上 的，手算的时候自己判断一下就可以了，人不会觉得这是个问题，不过计算机可不会自己挑选辅DOF，你还要额外编写程序遴选主辅DOF，还要防止出现重复的 定义，非常的麻烦。
2,Penalty Augmentation.
惩罚法，我们可以很形象的描述这种算法，如果两个DOF被约束住了，那么我们就给他们一个加锁，这儿的枷锁是一个刚度为w弹簧。加上弹簧后两个 DOF之间有如下关系：f1=w(u1-u2),f2=w(u2-u1);我们就把这个直接加到原先的矩阵上好了，没有额外的矩阵和运算，非常简单。不过 问题来了，如果u1和u2真的约束住了，那么w就该的等于无穷大。事实上如果这么算，那么很明显这是个病态矩阵。
那么关键就是怎么选择w了。我们知道计算机能识别的最小数字是有限的，也就是说，如果两个数字差别小到计算机识别的极限，我们就认为他们是相等 的，按照这个原理，大概w取到10的16次方程序就认为两个DOF完全约束了，不过这个数字相对矩阵里的其他值还是太大了；要继续减少w的值，我们要考虑 到误差的问题，即你可以容许计算中出现最大到多少的误差，根据这个标准确定w，最终推荐的w值大概在10的5-7次方之间，既兼顾了误差的要求，矩阵也不 会出现病态的情形。
综合考虑这种算法，除了确定w以外，其他方面都是可以接受的，但是无法确定w是致命的。
3,Lagrange Multiplier Adjunction.
拉格朗日附加乘子法。最后的这个方法是最佳的方案。他是从前一种方法引申过来的。在前一个方法中我们在两个DOF之间加了一个刚度为w的弹簧，其 实说穿了就是在两个自由度之间加一个约束力。那么我们干脆直接考察这对作用力的作用好了。我们把这一对力加在向量f上，那么原先的f1就变成了f1-a， 而f2就变成了f2+a。这时的a就是一个朗格朗日乘子。下面一步就是把这个乘子挪到刚度阵这一边，让他变成第n+1个DOF，那么自然刚度阵的阶数也 要+1，对应到f这一边舔一个0；这样就完成了一个扩大的刚度阵，可以求解了。
这个方法最好的地方在于他非常的利于计算机处理，基本不需要什么额外地对参数的确定，而且精确度也是最高的。
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